1. Grupo

Enkonduko

Antaŭstudu teorion de aroj.

Ĝenerale, aro havas nur erojn. Sed io, strukturo, povas enmetiĝi al aro.

Ekz-e,

• Strukturo algebra: aro + operacio (t.e. grupo, ringo, kpt.)
• Strukturo orda: aro + ordo
• Spaco topologia: aro + familio de malfermita aro
• Spaco distanca: aro + distanco

Kio estas grupo? Grupo estas io de meti operacion en aro.

Nu, mi skribos lecionojn pri grupo. Ĉefcelo estas kompreni teoremon pri samformo, lerni fundamenton de teorio de ringo.

1.1 Difino de grupo

Grupo estas kombinaĵo de aro kaj operacio. Pri aro $G$ kaj operacio $\cdot$ (kio povas signifi ĉiujn operaciojn ekster obloperacio), grupo $(G,\cdot)$ sufiĉas subajn ecojn.

(0) Operacio fermiĝas en $G$.

$$\begin{equation*} f:X\times X \to X \\ X\times X \ni (x,y) \mapsto x\cdot y \in X \end{equation*}$$

(1) Por $x,y,z\in G$

$$\begin{equation*} (x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z) \end{equation*}$$

(2) Ekzistas la neŭtrero $e\in G$, kaj sufiĉas por ĉiuj $x\in G$

$$\begin{equation*} x\cdot e = e\cdot x = x \end{equation*}$$

(3) Por $x\in G$ ekzistas kontraŭegalero $x^{-1}\in G$, kaj sufiĉas

$$\begin{equation*} x\cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x = e \end{equation*}$$

Kaj, se grupo sufiĉas suban econ

(4) Por $x,y\in G$

$$\begin{equation*} x\cdot y = y\cdot x \end{equation*}$$

ĝi nomiĝas komuta grupo aŭ Abela grupo. Se iu grupo ne estas komuta grupo, ĝi nomiĝas ne-komuta grupo. Aditante, duongrupo sufiĉas ĝis (1), kaj monoido sufiĉas ĝis (2).

Ĉar mi pensas, ke vi ne komprenas, ni vidos ekzemplojn de grupoj por konstati ecojn de grupo.

Ekz-o 1: $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ (reala nombro sen 0)

$\mathbb{R}\backslash\{0\}$ (reala nombro sen 0) estas grupo por ĝenerala obloperacio $\times$, t.e. $(\mathbb{R}\backslash\{0\},\times)$ estas grupo. Ni konstatos, ke ĝi estas grupo.

(0): Oblado de realnombro kaj realnombro estas realnombro.
(1): Sufiĉas.
(2): $e=1$ estas neŭtrero ĉar oblado de 1 kaj ĉiuj realnombroj estas fontaj realnombro, t.e. $x\times 1 = 1\times x = x$ por $x\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$.
(3): Kontraŭegalero de $x$ estas $\frac{1}{x}(=x^{-1})$, t.e. $x\times \frac{1}{x} = \frac{1}{x}\times x = 1(=e)$.

Ekz-o 2: $\mathbb{Z}$ (natura nombro)

$\mathbb{Z}$ (natura nombro) estas grupo por ĝenerala adicioperacio $+$, t.e. $(\mathbb{Z},+)$ estas grupo. Ni konstatos, ke ĝi estas grupo.

(0): Adiciado de naturnombro kaj naturnombro estas naturnombro.
(1): Sufiĉas.
(2): $e=0$ estas neŭtrero ĉar adiciado de 0 kaj ĉiuj naturnombroj estas fontaj naturnombro, t.e. $x + 0 = 0 + x = x$ por $x\in \mathbb{Z}$.
(3): Kontraŭegalero de $x$ estas $-x(=x^{-1})$, t.e. $x + (-x) = (-x) + x = 0(=e)$.

1.2 Soleco de neŭtrero

Nur unu neûtrero ekzistas por unu grupo $(G,\cdot)$.

Rezonado

Supoze, ke du neŭtrero $e,e'$ ekzistus.
Ĉar $e$ estas neŭtrero, $e'\cdot e = e\cdot e' = e'$.
Ĉar ankaŭ $e'$ estas neŭtrero, $e'\cdot e = e\cdot e' = e'$
Ĉi tiam $e = e'$. Do neûtrero estas la sola.

1.3 Soleco de kontraŭegalero

Por unu ero $x$, nur unu kontraŭegalero $x^{-1}$ ekzistas en grupo $(G,\cdot)$.

Rezonado

Supoze, ke du kontraŭegalero $x^{-1},x'^{-1}$ de iu ero $x$ ekzistus. Ĉar $x^{-1}$ kaj $x'^{-1}$ estas kontraŭegalero,

$$\begin{equation*} x\cdot x^{-1} = e, \hspace{1em} x\cdot x'^{-1} = e \end{equation*}$$

t.e.

$$\begin{equation*} x\cdot x^{-1} = x\cdot x'^{-1} \end{equation*}$$

Aditonte ambaŭflanke el maldekstro,

$$\begin{equation*} x^{-1}\cdot x\cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x\cdot x'^{-1} \\ e\cdot x^{-1} = e\cdot x'^{-1} \\ x^{-1} = x'^{-1} \end{equation*}$$

1.4 Ekzemplo de ne-grupo

Nun por aro $S$, mi difinas $S^* := S\backslash\{0\}$ ($S^*$ estas $S$ sen $0$).

Por adiciado, $\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C}$ estas grupoj(komutaj grupoj).
Por oblado, $\mathbb{R}^*,\mathbb{Q}^*,\mathbb{C}^*$ estas grupoj(komutaj grupoj).
Por adiciado, $\mathbb{N}^*$ estsa monoido.
Por oblado, $\mathbb{Z}^*$ estas monoido.
Por adiciado, $\mathbb{N}^*$ estas duongrupo.

Ekzemplo de ne-grupo

Ni metos operacio $*$ en grupon $\mathbb{Z}$. Nun ni difinas operacion $*$ kiel

$$\begin{equation*} a*b=a^2+3b^2 \end{equation*}$$

Nun $a,b,c\in\mathbb{Z}\hspace{0.5em}(a\neq b\neq c)$,

$$\begin{align} (a*b)*c & =(a^2+3b^2)*c \\ & =(a^2+3b^2)^2+3c^2 \\ & =a^4+6a^2b^2+9b^4+3c^2 \\ \\ a*(b*c) & =a*(b^2+3c^2) \\ & =a^2+3(b^2+3c^2)^2 \\ & =a^2+3b^4+18b^2c^2+27c^4 \\ \\ (a*b)*c & \neq a*(b*c) \end{align}$$

Tiele, $(\mathbb{Z},*)$ ne estas grupo, monoido, kaj duongrupo.