1. Kategorioj kaj ecoj de sagoj

1.1 Kio estas kategorioj?

Teorio de kategorioj estas la grava regiono en matematiko. La plej celo de la teorio estas egalaformigi unu ion kaj altan ion pro nebule vidi aferojn.

Kio estas kategorioj? Respondi estas tre malfacila ĉar la penso pri kategorioj estas nebula. Sed oni povas vidi kategoriojn trans ecoj.

Ĉi tempe oni rigardas, ke kategorio konsistas objektoj kaj sagoj inter la objektoj (lastatempe oni povas difini per nur sagoj). En teorio de aroj objektoj estas aroj kaj sagoj estas funkcioj aŭ ĵetoj. Sed nun oni abstrakte devas pripensi.

Nu, oni pripensas multajn objektojn. Ĉiuj punktoj en la suba figuro estas objektoj, kaj en suba figuro $X$ kaj $Y$ ankaŭ estas objektoj. Ĉi tiaj objektoj estas abstraktaĵoj.

Inter objektoj estas sagoj, aǔ rilatoj. Ekzemple estas sagoj $f$ inter la objektoj $X$ kaj $Y$.

Multaj sagoj, eĉ senfina nombro, eĉ nulo, estas permesata inter la du objektoj. Ankaŭ sago el unu objekto al si estas permesata.

$$\begin{xy} \xymatrix{ \cdot \ar@(lu,ld)[] \ar[r] \ar@/^/[r] & \cdot \ar@/^/[l] } \end{xy}$$

Oni povas diri tiel “sagoj de kategorioj sufiĉas kombinecon kaj egalecon.” La ecoj de kategorio (kombineco, egaleco) klariĝos en 1.2 kaj 1.3.

1.2 Kunligasago kaj kunligeco

Estas sagoj $f$, $g$. La celobjekto de $f$ estas la fontobjekto de $g$.

$$\begin{xy} \xymatrix { \cdot \ar[r]_f & \cdot \ar[r]_g & \cdot } \end{xy}$$

Nu, oni volas kunligi la sagojn $f$, $g$ kiel mapoj inter aroj. Fakte, sagoj povas kunliĝi tiel $g\circ f$ kiel mapoj. $g\circ f$ (g post f) signifas operacii eke $f$ jene $g$. Resume, $g\circ f$ estas la sago el la fontobjekto de $f$ al la celobjekto de $g$.

$$\begin{xy} \xymatrix { \cdot \ar[r]_f \ar@/^/[rr]^{g \circ f} & \cdot \ar[r]_g & \cdot } \end{xy}$$

Oni adicas nova sago $h$, kias fontobjekto estas la celobjekto de $g$ tiel suba figuro.

$$\begin{xy} \xymatrix { \cdot \ar[r]_f & \cdot \ar[r]_g & \cdot \ar[r]_h & \cdot } \end{xy}$$

Nun oni volas kunligi la sagojn $f$, $g$, kaj $h$.
Oni havas 2 metodoj. La 1a metodo estas kunligi $f$ kaj $g$ antaŭ $h$ (ruĝaj sagoj). La 2a estas kunligi $g$ kaj $h$ antaŭ $f$ (bluaj sagoj).

Esprime matematike,

$$\begin{align*} h \circ g \circ f = h \circ (g \circ f) \hspace{1em} \textrm{(ruĝaj sagoj)}\\ h \circ g \circ f = (h \circ g) \circ f \hspace{1em} \textrm{(bluaj sagoj)} \end{align*}$$

Finfine, en suba figuro, la survojo, la mezvojo, kaj la subvojo egalas.

$$\begin{align*} h \circ g \circ f = h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \end{align*}$$

Ĝi estas la kunligeco, kaj ĉiuj sagoj de kategorioj suficas ĝin.

1.3 Egalsago kaj egaleco

Ĉiu objekto havas nur unu egalsagon.

Egalsago estas sago el unu objekto al si. Ekzemple, la objekto $X$ havas nur unu egalsagon $id_X$ el $X$ al $X$ (, kio signifas, ke “$id_X$ estas la egalsago, kion $X$ havas”).

$$\begin{xy} \xymatrix{ X \ar@(lu,ld)[]_{id_X} } \end{xy}$$

Oni pripensas pluan sagon $f$ el $X$ al $Y$. La egalsago $id_X$ sufiĉas la eco, ke kunligsago de $id_X$ kaj $f$, resume $f \circ id_X$, egalas al la sago $f$.

$$\begin{xy} \xymatrix{ X \ar@(lu,ld)[]_{id_X} \ar[r]^f & Y } \end{xy}$$

Parenteze, la sura figuro kaj la suba figuro samas signife.

$$\begin{xy} \xymatrix{ X \ar[r]^{id_X} & X \ar[r]^f & Y } \end{xy}$$

Plu oni pripensas la egalsago $id_Y$ el $Y$ al $Y$. Operaci $id_Y$ post $f$ egalas al operaci nur $f$, resume $id_Y \circ f = f$

$$\begin{xy} \xymatrix{ X \ar[r]^f & Y \ar@(ru,rd)[]^{id_Y} } \end{xy}$$

$id_X$ kaj $1d_Y$ estas la egalsagoj, kaj subaj esprimoj signifas la egalecojn.

$$\begin{align*} f = f \circ id_X \\ f = id_Y \circ f \end{align*}$$

Oni povas skribi egalsagojn kiel $1_X$, $1_Y$, ĉar la esprimoj similas al unuobligoj. Oni ankaŭ diras, ke $id_X$ en la suba esprimo estas dekstra identelemento kaj $id_Y$ estas maldekstra identelemento.

1.4 Soleco de egalsago

Sagoj el $X$ al $X$ multe estas, sed $id_X = 1_X$ estas la sola. Nu, oni demonstros, ke la egalsago pri unu objekto certe estas la sola.

Supoze ke 2 egalsagoj estas $id_X$ kaj $id_X'$, oni pripensos kunligasagon $id_X \circ id_X'$ (atente ordon!).

$$\begin{xy} \xymatrix{ X \ar[r]^{id_X'} & X \ar[r]^{id_X} & X } \end{xy}$$

Nun $id_X \circ id_X'$ estas $id_X$, ĉar $id_X'$ estas egalsago (dekstra identelemento).
Plu $id_X \circ id_X'$ ankaŭ estas $id_X'$, ĉar $id_X$ estas egalsago (maldekstra identelemento).

$$\begin{xy} \xymatrix{ X \ar[r]^{id_X'} \ar@/^2em/[rr]^{id_X(=id_X \circ id_X')} \ar@/_2em/[rr]_{id_X'(=id_X \circ id_X')} & X \ar[r]^{id_X} & X } \end{xy}$$

Konklude

$$id_X = id_X \circ id_X' = id_X'$$

Resume, la egalsago pri unu objekto certe estas la sola.

1.5 Komutskemo

Oni pensas objektojn $A,B,C,D$ kaj sagojn $f,g,h,k$. Nun,

$$\begin{align*} f: A\to B \\ g: B\to D \\ h: A\to C \\ k: C\to D \end{align*}$$

kaj montrante figuron

$$\begin{xy} \xymatrix{ A \ar[r]^{f} \ar[d]_{h} & B \ar[d]^{g} \\ C \ar[r]_{k} & D } \end{xy}$$

Kunmetaj sagoj $g\circ f$ kaj $k\circ h$ estas komuteco (tio estas $g\circ f = k\circ h$). Kaj figuro montrante komutecon estas komutskemo.